计算机图形学入门II

Transformation Cont.

一、视图(View)变换

1. Scale $$S(s_x,s_y,s_z)= \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & s_y & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & s_z & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ \end{pmatrix}$$
2. Translation $$T(t_x,t_y,t_z)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ \end{pmatrix}$$
3. Rotation(around x-,y-,z-)
   • 绕哪一轴旋转，对应行列不变
   • 绕y-旋转矩阵特殊性

$$R_x(\alpha)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0\\\\ 0 & sin\alpha & cos\alpha & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ \end{pmatrix}$$ $$R_y(\alpha)= \begin{pmatrix} cos\alpha & 0 & sin\alpha & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -sin\alpha & 0 & cos\alpha & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ \end{pmatrix}$$ $$R_z(\alpha)= \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 & 0\\\\ sin\alpha & cos\alpha & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ \end{pmatrix}$$

1. 罗德里格斯旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula)
   Rotation by angle α around axis n

$$R(n,\alpha)=cos(\alpha)I+(1-cos(\alpha))nn^T+sin(\alpha) \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y\\\\ n_z & 0 & -n_x\\\\ -n_y & n_x & 0\\\\ \end{pmatrix}$$

二、投影(Projection)变换

1. 正交投影(Orthographic projection)&透视投影(Perspective projection)
   
2. 正交投影(Orthographic projection)
   

$$M_{ortho}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ \end{bmatrix}$$

最终结果将其规范约束到$[-1,1]^3$这样一个空间内

1. 透视投影(Perspective projection)
   • 空间内有一点$(x,y,z,1)$,若给坐标乘上$k\neq0$得到$(kx,ky,kz,k)$,其仍然表示$(x,y,z)$这一点
   • 思路是将这样一个椎体挤成一个立方体然后进行正交投影变换
   • Tip:近远平面以及中心轴永远不变
     

$$M_{persp}=M_{ortho}M_{persp\rightarrow ortho}$$

(下接计算机图形学入门III)