计算机图形学入门XIII

Ray Tracing 4 (Monte Carlo Path Tracing)

一、蒙特卡洛积分

1. Monte Carlo Integration：给任意一个函数，但写不出函数解析式，如何算出其定积分？找到$x_i$对应的$f(x)$值将其作为矩形的高，近似整个定积分的值，然后多次采样，平均长方形面积即可得到相对准确的结果
   $$
   F_N = \frac{b-a}{N} \sum_{i=1}^Nf(X_i)
   $$
   ${b-a}$是矩形的长，后面的求和是函数值采样和，除以N即可求得矩形平均值
2. Tip：若不均匀采样则推出蒙特卡洛一般形式
   $$
   \int f(x)dx=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac {f(X_i)}{p(X_i)} \quad X_i \sim p(x)
   $$

二、路径追踪

1. 上一节课学到的Whitted-Style Ray Tracing理论是错误的，但它的方程式是对的

2. 使用蒙特卡洛积分则可得出新的算法：
   $$
   L_o=\int_{\Omega^+}L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)dw_i
   \
   \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)}{p(w_i)}
   $$

3. 但这种递归算法也存在一些问题：

   • 随递归深度增加光线数量爆炸
   • 迭代永远不会停(因为实际光线弹射次数也是无上限的)

4. 俄罗斯轮盘赌解决上述提到的第二个问题：以一定的概率$P$向某方向射出以光线$L_o$，最后返回其均值$L_o / P$,那么有$1-P$的概率不会在该方向射出光线，此时结果为0，那么最后期望的结果仍为：
   $$
   E = P*(L_o / P) + (1-P)*0 = L_o
   $$

5. 解决以上问题后我们得到正确的路径追踪方程，但目前的形式效率不高，我们需要转换到在光源上采样在光源上积分，就可以得到效率更高的方法：
   $$
   L_o(x,w_o)=\int_{\Omega^+}L_i(x,w_i)f_r(x,w_i,w_o)cos\theta d w_i
   \
   = \int_{A}L_i(x,w_i)f_r(x,w_i,w_o)\frac{cos\theta cos\theta’}{\Vert x’ - x \Vert^2}dA
   $$
   

6. 改进后的算法相当于在光照区域不采用俄罗斯轮盘赌，在其他区域使用轮盘赌，这样就可以有效提高采样处理效率
   

(下接 计算机图形学入门XIV)